В прямоугольном треугольнике MNK угол K=90 градусов, KM=6 см, NK=6√3 см, KD-медиана. Найдите угол KDN.

В прямоугольном треугольнике MNK угол K = 90 градусов, длина катетов KM = 6 см и NK = 6√3 см. Также известно, что KD — медиана.

Чтобы найти угол KDN, начнем с того, что медиана KD делит гипотенузу MN пополам. Давайте найдем длину гипотенузы MN, используя теорему Пифагора.

1. Нахождение длины гипотенузы MN:

   Согласно теореме Пифагора для прямоугольного треугольника:

   $$MN^2 = KM^2 + NK^2$$

   Подставим значения:

   $$MN^2 = 6^2 + (6\sqrt{3})^2 = 36 + 108 = 144$$ $$MN = \sqrt{144} = 12 \, \text{см}$$

2. Нахождение длины медианы KD:

   В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Таким образом:

   $$KD = \frac{MN}{2} = \frac{12}{2} = 6 \, \text{см}$$

3. Использование треугольника KDN:

   Теперь рассмотрим треугольник KDN. В этом треугольнике у нас есть две стороны: KD = 6 см (медиана) и NK = 6√3 см, а также угол K = 90°.

   Используем теорему косинусов для нахождения угла KDN:

   $$DN^2 = KD^2 + NK^2 - 2 \cdot KD \cdot NK \cdot \cos(K)$$

   Поскольку угол K = 90°, косинус угла 90° равен 0:

   $$DN^2 = KD^2 + NK^2 = 6^2 + (6\sqrt{3})^2 = 36 + 108 = 144$$ $$DN = \sqrt{144} = 12 \, \text{см}$$

4. Нахождение угла KDN:

   Теперь у нас есть треугольник KDN со сторонами KD = 6 см, NK = 6√3 см и DN = 12 см. Используем теорему косинусов, чтобы найти угол KDN:

   $$\cos(KDN) = \frac{KD^2 + DN^2 - NK^2}{2 \cdot KD \cdot DN}$$

   Подставляем значения:

   $$\cos(KDN) = \frac{6^2 + 12^2 - (6\sqrt{3})^2}{2 \cdot 6 \cdot 12}$$ $$\cos(KDN) = \frac{36 + 144 - 108}{144} = \frac{72}{144} = \frac{1}{2}$$ $$KDN = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$$

Таким образом, угол KDN равен 60 градусам.