В окружности проведены две хорды AB и CD, пересекающиеся в точке K, KC=6 см, AK= 8 см, BK+DK= 28 см. Найдите произведение BK и DK

Дано, что в окружности проведены две хорды AB и CD, пересекающиеся в точке K. Из условия задачи известно:

• $KC = 6$ см,

• $AK = 8$ см,

• $BK + DK = 28$ см.

Необходимо найти произведение $BK$ и $DK$.

Решение:
Сначала обозначим длины отрезков хорды CD как $BK = x$ см и $DK = y$ см. Из условия задачи известно, что сумма этих отрезков:

Также известно, что точка пересечения делит хорды таким образом, что произведение длин частей одной хорды равно произведению длин частей другой хорды. То есть, по теореме о пересекающихся хордах:

Подставим известные значения:

Теперь у нас есть система уравнений:

1. $x + y = 28$,

2. $8x = 6y$.

Решим эту систему. Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:

Приведем выражения к общему знаменателю:

Умножим обе части уравнения на 4:

Теперь подставим значение $y = 16$ в выражение для $x$:

Таким образом, $BK = 12$ см и $DK = 16$ см.

Теперь находим произведение $BK \cdot DK$:

Ответ: произведение $BK$ и $DK$ равно 192.