Диагональ осевого сечения равна 8 корень квадратный из 2 дм и образует с плоскостью основания цилиндра угол 45 градусов. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Для нахождения площади полной поверхности цилиндра, необходимо использовать несколько известных характеристик геометрии цилиндра.

Итак, задача дана следующим образом:

• Диагональ осевого сечения цилиндра равна $8 \sqrt{2}$ дм.
• Эта диагональ образует угол 45 градусов с плоскостью основания цилиндра.

Рассмотрим шаги решения:

Шаг 1. Связь диагонали осевого сечения с размерами цилиндра

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольный треугольник, одна из сторон которого является радиусом основания цилиндра $r$, а другая — высотой цилиндра $h$. Диагональ этого треугольника (гипотенуза) равна $\sqrt{r^2 + h^2}$.

По условию задачи, гипотенуза (диагональ осевого сечения) равна $8 \sqrt{2}$ дм, то есть:

Возводим обе стороны в квадрат:

Шаг 2. Используем угол между диагональю и плоскостью основания

Кроме того, известно, что диагональ осевого сечения составляет угол 45° с плоскостью основания цилиндра. Этот угол можно использовать для нахождения соотношения между $r$ и $h$, так как косинус угла 45° равен $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Косинус угла 45° между гипотенузой и основанием (где основание — это радиус цилиндра) можно выразить через отношение:

Подставляем известное значение $\sqrt{r^2 + h^2} = 8 \sqrt{2}$:

Умножаем обе стороны на $8 \sqrt{2}$:

Шаг 3. Нахождение высоты цилиндра

Теперь, зная радиус $r = 8$ дм, подставляем это значение в уравнение для гипотенузы:

Подставляем $r = 8$:

Шаг 4. Нахождение площади полной поверхности цилиндра

Площадь полной поверхности цилиндра состоит из двух частей:

1. Площадь двух оснований цилиндра: $2\pi r^2$.
2. Площадь боковой поверхности цилиндра: $2\pi rh$.

Подставим значения $r = 8$ и $h = 8$ в эти формулы:

1. Площадь оснований:

2. Площадь боковой поверхности:

Таким образом, общая площадь полной поверхности цилиндра будет:

Ответ: площадь полной поверхности цилиндра равна $256 \pi \, \text{дм}^2$.