Даны точки A(-10; 3), B(2;9), C(3;7). Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

Решу через векторы/склоны и через теорему Пифагора — оба способа показывают прямой угол при $B$.

1) Перпендикулярность по угловым коэффициентам (склонам).
Найдём наклоны прямых $AB$ и $BC$:

Их произведение $k_{AB}\cdot k_{BC}=\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1$.
Произведение наклонов двух прямых равно $-1$ ⇔ прямые перпендикулярны. Значит, $AB\perp BC$, т.е. угол $B$ — прямой.

2) Проверка по теореме Пифагора.
Посчитаем квадраты длин:

Видим: $AB^2+BC^2=180+5=185=AC^2$. По обратной теореме Пифагора треугольник $ABC$ прямоугольный, причём гипотенуза $AC$, а прямой угол — при вершине $B$.

Итак, треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом в точке $B$.