Найти диагонали прямоугольника АВСД , если угол , СД=15см , а САД=30см

Чтобы найти диагональ прямоугольника $ABCD$, воспользуемся известными данными:

1. Сторона $CD = 15 \, \text{см}$;
2. Угол $САД = 30^\circ$.

Прямоугольник обладает следующими свойствами:

• Все углы равны $90^\circ$.
• Противоположные стороны равны и параллельны.
• Диагонали равны и пересекаются в точке, делящей их пополам.

Мы знаем угол между диагональю $AC$ и стороной $AD$, который равен $30^\circ$. Это позволит нам найти вторую сторону $AD$ с помощью тригонометрии, после чего можно будет вычислить диагональ.

1. Найдём сторону $AD$

Угол $САД$ равен $30^\circ$, поэтому мы можем использовать отношение катетов к гипотенузе в прямоугольном треугольнике $САД$. В этом треугольнике:

• $CD$ является противолежащим катетом угла $САД$;
• $AD$ будет прилежащим катетом.

Используем тангенс угла $30^\circ$:

Подставим известные значения:

Поскольку $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем уравнение:

Решим его для $AD$:

Теперь у нас есть длины обеих сторон прямоугольника:

• $CD = 15 \, \text{см}$
• $AD \approx 25.98 \, \text{см}$

2. Найдём диагональ $AC$

В прямоугольнике диагонали можно найти по теореме Пифагора, так как каждая диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Применим теорему Пифагора к треугольнику $ACD$:

Подставим значения:

Выполним вычисления:

1. $AD^2 = (25.98)^2 \approx 675.04$
2. $CD^2 = 15^2 = 225$

Сложим и извлечём корень:

Ответ

Диагонали прямоугольника $ABCD$ равны и имеют длину примерно $30 \, \text{см}$.