В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC боковая сторона равна 60. Если центр вписанной окружности делит высоту BD в отношении 12:5, то основание треугольника равно

Для решения задачи начнем с того, что в равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC и боковыми сторонами AB = BC = 60, нужно найти длину основания AC, зная, что центр вписанной окружности делит высоту BD в отношении 12:5.

1. Обозначения и свойства:

   • Пусть основание треугольника AC = x.

   • Боковые стороны AB и BC равны 60.

   • Центр вписанной окружности — точка I.

   • Высота BD из вершины B перпендикулярна основанию AC.

   • Центр вписанной окружности делит высоту BD в отношении 12:5.

2. Сначала найдем длину высоты BD:
   В равнобедренном треугольнике высота BD делит основание AC пополам, то есть $AD = DC = \frac{x}{2}$.

   Для нахождения длины высоты BD воспользуемся теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике ABD:

   $$AB^2 = AD^2 + BD^2$$

   Подставим известные значения:

   $$60^2 = \left( \frac{x}{2} \right)^2 + BD^2$$ $$3600 = \frac{x^2}{4} + BD^2$$

   Из этого выражения можно выразить $BD^2$:

   $$BD^2 = 3600 - \frac{x^2}{4}$$

3. Теперь используем свойство деления высоты центром вписанной окружности:
   Центр вписанной окружности делит высоту BD в отношении 12:5, что означает, что точка I находится ближе к основанию AC. Таким образом, отрезок BI будет составлять $\frac{12}{12 + 5} = \frac{12}{17}$ части от всей высоты BD, а отрезок ID — $\frac{5}{17}$.

   Тогда:

   $$BI = \frac{12}{17} \cdot BD$$ $$ID = \frac{5}{17} \cdot BD$$

4. Используем формулу для отношения длин отрезков:
   В равнобедренном треугольнике отношение отрезков высоты, на которые она делится точкой касания вписанной окружности, равно отношению сторон треугольника, смежных с этим основанием. То есть, отношение $BI : ID$ будет равно $AB : AC$. Таким образом, имеем:

   $$\frac{BI}{ID} = \frac{AB}{AC} = \frac{60}{x}$$

   Подставим выражения для $BI$ и $ID$:

   $$\frac{\frac{12}{17} \cdot BD}{\frac{5}{17} \cdot BD} = \frac{60}{x}$$

   Упростим:

   $$\frac{12}{5} = \frac{60}{x}$$

   Решим это уравнение относительно $x$:

   $$x = \frac{5 \cdot 60}{12} = 25$$

Таким образом, длина основания треугольника AC равна 25.