В окружность вписан правильный треугольник и около окружности описан правильный треугольник. Найдите отношение площадей этих треугольников.

Рассмотрим правильный треугольник, вписанный в окружность, и правильный треугольник, описанный около окружности. Для того чтобы найти отношение их площадей, нам нужно использовать геометрические свойства этих треугольников и их взаимосвязь через радиус окружности.

1. Правильный треугольник, вписанный в окружность:
   Пусть радиус окружности, в которую вписан треугольник, равен $R$. В правильном треугольнике, вписанном в окружность, центр окружности совпадает с центром треугольника. Высота такого треугольника будет равна $h_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a$, где $a$ — длина стороны треугольника. Из этого уравнения можно выразить сторону треугольника через радиус окружности. Радиус окружности правильного треугольника $R$ равен $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$, поэтому длина стороны треугольника будет $a = \sqrt{3}R$.

   Площадь правильного треугольника, вписанного в окружность, вычисляется по формуле:

   $$S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (3R^2) = \frac{3\sqrt{3}}{4} R^2$$

2. Правильный треугольник, описанный около окружности:
   В правильном треугольнике, описанном около окружности, радиус окружности, который касается сторон треугольника, называется радиусом вписанной окружности и обозначается через $r$. Для такого треугольника существует связь между радиусом вписанной окружности и длиной его стороны. Радиус вписанной окружности правильного треугольника равен $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$, где $a$ — длина стороны треугольника.

   Площадь правильного треугольника, описанного около окружности, можно вычислить по формуле для площади правильного треугольника через его сторону:

   $$S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2$$

   Подставив $a = 2\sqrt{3}r$ в эту формулу, получим:

   $$S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (2\sqrt{3}r)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 12r^2 = 3\sqrt{3}r^2$$

3. Нахождение отношения площадей:
   Теперь мы можем найти отношение площадей этих треугольников. Площадь первого треугольника (вписанного) была $S_1 = \frac{3\sqrt{3}}{4} R^2$, а площадь второго (описанного) $S_2 = 3\sqrt{3}r^2$.

   Радиус окружности, в которую вписан треугольник, и радиус окружности, вокруг которой он описан, связаны соотношением $R = 2r$. Подставив это в выражения для площадей, получаем:

   $$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{4} R^2}{3\sqrt{3}r^2} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{4} (2r)^2}{3\sqrt{3}r^2} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot 4r^2}{3\sqrt{3}r^2} = 1$$