Осевое сечение конуса — равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной \( C \). Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Осевое сечение конуса — это прямоугольный треугольник, который является равнобедренным, где гипотенуза равна $C$. Мы можем использовать эту информацию для нахождения площади боковой поверхности конуса.

Рассмотрим, что осевое сечение проходит через вершину конуса и его центр основания, образуя равнобедренный прямоугольный треугольник. Обозначим высоту конуса как $h$, а радиус основания как $r$.

Согласно свойствам осевого сечения, гипотенуза этого треугольника равна образующей конуса, которая также называется апофемой. Мы знаем, что гипотенуза равна $C$, а длина боковой стороны треугольника — это апофема, которая тоже равна $C$. Также можно выразить высоту $h$ и радиус основания $r$ через $C$, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника:

Площадь боковой поверхности конуса определяется по формуле:

Чтобы найти радиус $r$ из выражения $C^2 = h^2 + r^2$, нам нужно также выразить $r$ через $C$. Используя теорему Пифагора, мы получаем, что радиус $r$ можно выразить как:

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса будет равна: