Осевое сечение конуса-треугольник,площадь которого равна 16√3 см²,а один из углов равен
120 градусов.Найдите радиус основания, площадь полной поверхности и объём конуса.

Для решения задачи по конусу начнем с анализа данных и воспользуемся свойствами геометрии.

Дано:

1. Площадь осевого сечения (треугольника) $S_{\text{осевое}} = 16\sqrt{3} \, \text{см}^2$.
2. Один из углов осевого сечения равен $120^\circ$.
3. Найти:
   • радиус основания $R$,
   • площадь полной поверхности $S_{\text{полная}}$,
   • объем $V$ конуса.

Решение:

1. Осевое сечение конуса

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($2R$), а высота — это высота конуса ($h$).

Обозначим:

• $h$ — высота конуса,
• $2R$ — основание треугольника,
• $\alpha = 120^\circ$ — угол между боковыми сторонами треугольника.

Площадь треугольника выражается формулой:

где $b$ и $c$ — длины боковых сторон треугольника, которые равны образующим конуса ($l$).

Вместо $b \cdot c$ подставим $l \cdot l = l^2$:

Значение $\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, подставляем:

Упрощаем:

Домножаем обе стороны на 4 и делим на $\sqrt{3}$:

Образующая $l = 8 \, \text{см}$.

2. Радиус основания $R$

По теореме косинусов для треугольника:

Подставляем:

Учитываем, что $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$:

Радиус основания $R = 4\sqrt{3} \, \text{см}$