В треугольнике два угла равны 120 градусам и 45 градусам. Сторона, лежащая напротив меньшего из этих углов, равна 28 дм. Найдите радиус описанной окружности и сторону треугольника, лежащую напротив угла в 120 градусов.

В данном треугольнике два угла равны 120° и 45°. Из этого мы можем найти третий угол, так как сумма углов в треугольнике всегда равна 180°.

$180° - 120° - 45° = 15°$

Третий угол треугольника равен 15°.

Теперь у нас есть треугольник с углами 120°, 45° и 15°, а также сторона, лежащая напротив угла 45°, равная 28 дм. Нужно найти радиус описанной окружности и сторону, лежащую напротив угла в 120°.

Шаг 1. Радиус описанной окружности

Для треугольников, когда известны углы и одна из сторон, можно воспользоваться формулой для радиуса описанной окружности $R$, которая зависит от сторон треугольника и его углов:

где $a$ — это сторона, лежащая напротив угла $A$, а $R$ — радиус описанной окружности.

Мы знаем, что сторона $a = 28$ дм, а угол $A = 45^\circ$, то есть:

$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно:

Таким образом, радиус описанной окружности примерно равен 19.8 дм.

Шаг 2. Найдём сторону напротив угла 120°

Для того чтобы найти сторону, лежащую напротив угла в 120°, используем теорему синусов, которая говорит, что отношение стороны треугольника к синусу угла напротив неё всегда одинаково и равно диаметру описанной окружности:

Мы уже нашли радиус описанной окружности $R = 19.8 \, \text{дм}$. Теперь найдём сторону, лежащую напротив угла в 120°. Обозначим эту сторону как $b$, а угол, напротив которого она лежит, как $A = 120^\circ$.

Из теоремы синусов:

$\sin(120^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, и подставляем это значение в формулу:

Таким образом, сторона, лежащая напротив угла 120°, примерно равна 34.3 дм.

Ответ:

Радиус описанной окружности составляет примерно 19.8 дм, а сторона, лежащая напротив угла 120°, примерно равна 34.3 дм.