Осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник с углом 120° и равными сторонами по 16 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Для нахождения площади полной поверхности конуса необходимо учитывать как площадь основания, так и площадь боковой поверхности.

1. Площадь основания: основание конуса — это круг, радиус которого можно найти, исходя из геометрии осевого сечения.

   Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с углом 120° между его боковыми сторонами, каждая из которых равна 16 см. Для нахождения радиуса основания, давайте рассмотрим этот треугольник.

   • Половина угла 120° — это 60° (угол при основании треугольника).

   • Для нахождения радиуса основания используем синус. Так как треугольник равнобедренный, то через его высоту мы можем выразить радиус. Половина основания равнобедренного треугольника равна $r = 16 \times \sin(60^\circ)$.

   Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:

   $$r = 16 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \text{ см}.$$

   Площадь основания будет равна:

   $$S_{\text{основания}} = \pi r^2 = \pi \times (8\sqrt{3})^2 = \pi \times 192 = 192\pi \text{ см}^2.$$

2. Площадь боковой поверхности: площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

   $$S_{\text{боковая}} = \pi r l,$$

   где $r$ — радиус основания, а $l$ — образующая конуса, которая равна 16 см (так как это боковая сторона треугольника).

   Подставим значения:

   $$S_{\text{боковая}} = \pi \times 8\sqrt{3} \times 16 = 128\sqrt{3} \pi \text{ см}^2.$$

3. Полная площадь поверхности конуса: теперь, чтобы найти полную площадь поверхности конуса, нужно сложить площадь основания и площадь боковой поверхности:

   $$S_{\text{полная}} = S_{\text{основания}} + S_{\text{боковая}} = 192\pi + 128\sqrt{3}\pi.$$

   Итоговая площадь полной поверхности конуса будет:

   $$S_{\text{полная}} = \pi (192 + 128\sqrt{3}) \text{ см}^2.$$