Существует ли треугольник, у которого два прямых угла? Действительно ли сумма двух внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна 180°?

Треугольника с двумя прямыми углами (двумя углами по 90°) не существует в обычной евклидовой геометрии (то есть на плоскости, где действуют привычные школьные правила).

1) Почему не бывает треугольника с двумя прямыми углами

В евклидовой геометрии сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°. Если бы в треугольнике было два прямых угла, то уже эти два угла дали бы
$90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.
Тогда на третий угол осталось бы $0^\circ$, а угол $0^\circ$ не образует треугольник: стороны “легли бы” на одну прямую, фигура вырождается (площадь нулевая, это уже не треугольник).

Можно объяснить и иначе: два прямых угла означают, что две стороны перпендикулярны к одной и той же стороне. В евклидовой плоскости две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу, а параллельные прямые не пересекаются, значит “закрыть” треугольник не получится.

Итог: на плоскости — нет, не существует (кроме вырожденного случая, который треугольником не считают).

Замечание: в неевклидовых геометриях (например, на сфере) правила про сумму углов треугольника другие, и там возможны треугольники, у которых сумма углов больше 180°, вплоть до ситуаций с несколькими “прямыми” углами. Но в школьной плоской геометрии — нет.

2) Правда ли, что сумма двух внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна 180°

Да, это правда в евклидовой геометрии, и это одно из базовых свойств параллельных прямых.

Рассмотрим две параллельные прямые и секущую. “Внутренние односторонние углы” — это два угла, которые:

• лежат между параллельными прямыми (поэтому “внутренние”),

• и находятся по одну сторону от секущей (поэтому “односторонние”).

Почему их сумма 180°:

• Один из этих углов равен некоторому углу при пересечении секущей с одной прямой (по свойству накрест лежащих или соответственных углов при параллельных прямых).

• А два соседних угла на прямой образуют развернутый угол, то есть их сумма равна 180°.

• В итоге получаем, что именно пара внутренних односторонних внутренних углов всегда дает 180°.

Итог: да, сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей всегда равна 180° (в евклидовой геометрии).

Связь двух утверждений

Обычно доказательство суммы углов треугольника $180^\circ$ как раз опирается на свойства углов при параллельных прямых и секущей. Поэтому оба факта “держатся” на одной евклидовой основе: на поведении параллельных прямых. Именно из-за этого в евклидовой плоскости и невозможно получить треугольник с двумя прямыми углами.