Докажите равенство треугольников ABD и CDB, если угол ABD равен углу CDB и AB = CD.

Рассмотрим треугольники ABD и CDB.

Дано:

1. $\angle ABD = \angle CDB$.

2. $AB = CD$.

Нужно доказать: $\triangle ABD = \triangle CDB$.

Доказательство

1. Отметим общую сторону.
   В треугольниках $ABD$ и $CDB$ сторона $BD$ является общей, значит

   $$BD = BD.$$

2. Сопоставим данные равенства сторон и углов.
   У нас уже есть:

   • $AB = CD$ (по условию),

   • $BD = BD$ (общая сторона),

   • $\angle ABD = \angle CDB$ (по условию).

3. Проверим, что равный угол является углом между равными сторонами.
   В треугольнике $ABD$ угол $\angle ABD$ расположен между сторонами $AB$ и $BD$.
   В треугольнике $CDB$ угол $\angle CDB$ расположен между сторонами $CD$ и $DB$.
   То есть мы сравниваем два треугольника по двум сторонам и углу между ними.

4. Применим признак равенства треугольников.
   По признаку двух сторон и угла между ними (SAS) треугольники равны:

   $$\triangle ABD \cong \triangle CDB.$$

Вывод

Треугольники ABD и CDB равны, так как у них равны две стороны $AB = CD$, $BD = BD$ и равны углы между этими сторонами $\angle ABD = \angle CDB$.