1) Понятие многоугольника. Выпуклый многоугольник. 2) Свойства параллелограмма. 3) Сумма углов выпуклого n-угольника. 4) Признаки параллелограмма. 5) Определение параллелограмма. 6) Теорема Фалеса.

1. Понятие многоугольника. Выпуклый многоугольник.
   Многоугольник — это часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией (то есть ломаной, у которой начало и конец совпадают).

• Точки излома ломаной называются вершинами многоугольника.

• Отрезки ломаной — сторонами.

• Отрезки, соединяющие не соседние вершины, — диагоналями.
  Многоугольник называют n-угольником, если у него n вершин (и n сторон).

Выпуклый многоугольник — это многоугольник, который целиком лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей любую его сторону. Эквивалентные формулировки:

• любой отрезок, соединяющий две точки многоугольника, целиком лежит внутри многоугольника;

• все внутренние углы выпуклого многоугольника меньше 180°.

2. Свойства параллелограмма.
   Параллелограмм — четырёхугольник с двумя парами параллельных сторон. Его основные свойства:

1. Противоположные стороны равны:
   $AB = CD$, $BC = AD$.

2. Противоположные углы равны:
   $\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$.

3. Сумма соседних углов равна 180° (смежные):
   $\angle A + \angle B = 180^\circ$ и т. д.

4. Диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам:
   если диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, то $AO = OC$ и $BO = OD$.

5. Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных (конгруэнтных) треугольника.

6. Площадь параллелограмма:
   $S = a \cdot h_a = b \cdot h_b$ (основание на соответствующую высоту),
   также $S = ab\sin\alpha$, где $\alpha$ — угол между сторонами $a$ и $b$.

3. Сумма углов выпуклого n-угольника.
   Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна:

Обоснование: из одной вершины можно провести диагонали к другим несоседним вершинам, разбив n-угольник на $n-2$ треугольника, а сумма углов каждого треугольника равна $180^\circ$.

4. Признаки параллелограмма.
   Чтобы доказать, что четырёхугольник является параллелограммом, достаточно выполнения любого из следующих условий (признаков):

1. Если в четырёхугольнике обе пары противоположных сторон параллельны, то это параллелограмм.

2. Если обе пары противоположных сторон равны, то четырёхугольник — параллелограмм.

3. Если одна пара противоположных сторон одновременно равна и параллельна, то четырёхугольник — параллелограмм.

4. Если диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, то четырёхугольник — параллелограмм.

5. Определение параллелограмма.
   Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

6. Теорема Фалеса.
   В школьной геометрии под теоремой Фалеса обычно понимают утверждение о пропорциональном делении отрезков параллельными прямыми:

Формулировка (классическая):
Если несколько параллельных прямых пересекают две секущие (две непараллельные прямые), то они отсекают на этих секущих пропорциональные отрезки.

Более наглядная формулировка через треугольник:
Если в треугольнике прямая, параллельная одной стороне, пересекает две другие стороны, то она делит эти стороны пропорционально.
То есть в $\triangle ABC$, если $DE \parallel BC$, где $D\in AB$, $E\in AC$, то:

Смысл теоремы: параллельность «сохраняет масштаб» на пересечённых линиях, поэтому отношения соответствующих отрезков одинаковы.