В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ площадь основания равна 9, а боковое ребро 4. Найдите объем пирамиды BACС₁A₁.

Рассмотрим правильную треугольную призму $ABCA_1B_1C_1$. Основание $ABC$ — равносторонний треугольник, а боковое ребро (высота призмы) равно $4$.

Нужно найти объём пирамиды $BAC C_1A_1$. По записи удобно понимать так: вершина пирамиды — $B$, а основание — четырёхугольник $A C C_1 A_1$ (это боковая грань призмы, она действительно лежит в одной плоскости).

1) Найдём сторону основания призмы

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$:

По условию $S_{ABC}=9$, значит

2) Площадь основания пирамиды $A C C_1 A_1$

Четырёхугольник $A C C_1 A_1$ — прямоугольник (боковая грань призмы): одна сторона $AC=a$, другая сторона — боковое ребро $AA_1=4$.

Значит, площадь основания пирамиды:

3) Высота пирамиды (расстояние от $B$ до плоскости $ACC_1A_1$)

Плоскость $ACC_1A_1$ — вертикальная плоскость, проходящая через ребро $AC$.
Точка $B$ лежит в плоскости основания призмы, поэтому расстояние от $B$ до этой вертикальной плоскости равно расстоянию от $B$ до прямой $AC$ в треугольнике $ABC$.

А это как раз высота равностороннего треугольника к стороне $AC$:

4) Объём пирамиды

Подставим $a^2=12\sqrt3$:

Ответ: $24$.