Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна l и образует с плоскостью основания пирамиды угол α. Найдите объём пирамиды.

Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду (основание — квадрат, вершина находится над центром основания).

Дано:

• апофема (наклонная высота боковой грани) равна $l$;

• апофема образует с плоскостью основания угол $\alpha$.
  Найти объём $V$.

1) Связь апофемы с высотой пирамиды

Угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Апофема $l$ наклонена к плоскости основания под углом $\alpha$, значит её разложение на компоненты:

• перпендикулярная к основанию компонента — это высота пирамиды $h$;

• параллельная основанию компонента — это проекция апофемы на основание.

По определению синуса угла между прямой и плоскостью:

2) Проекция апофемы и сторона основания

Обозначим:

• $O$ — центр квадрата основания,

• $M$ — середина стороны основания.

Апофема идёт от вершины к $M$. Её проекция на основание — это отрезок $OM$ (потому что вершина проектируется в $O$, а точка $M$ уже лежит в основании).

Длина проекции:

(так как $\cos\alpha$ даёт длину компоненты, лежащей в плоскости основания).

Но в квадрате расстояние от центра до середины стороны равно половине стороны:

где $a$ — сторона основания.

Значит:

3) Площадь основания и объём

Площадь квадрата основания:

Объём пирамиды:

Итак,