Биссектрисы двух углов треугольника пересекаются под углом 110°. Найти третий угол треугольника.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть биссектрисы двух его углов (например, $\angle A$ и $\angle B$) пересекаются в точке $I$.

1) Что это за точка пересечения

Из свойства треугольника: все три биссектрисы внутренних углов пересекаются в одной точке — это центр вписанной окружности (инцентр). Значит, точка $I$ — инцентр.

2) Как связан угол между биссектрисами с третьим углом

Из известного свойства инцентра:

То есть угол между биссектрисами углов $A$ и $B$ равен $90^\circ$ плюс половина третьего угла $\angle C$.

3) Подставим данное значение

По условию:

Тогда:

Вычтем $90^\circ$:

Умножим на 2:

Ответ

Третий угол треугольника равен $40^\circ$.