Найдите диагональ прямоугольника, если его периметр равен 28, а периметр одного из треугольников, на которые диагональ разделила прямоугольник, равен 24.

Для решения задачи, давайте используем информацию поэтапно.

1. Периметр прямоугольника:

Периметр прямоугольника равен 28. Формула для периметра прямоугольника:

где $a$ и $b$ — это длина и ширина прямоугольника. Подставляем известное значение:

Делим обе части на 2:

2. Периметр одного из треугольников:

Диагональ прямоугольника делит его на два прямоугольных треугольника. Периметр одного из таких треугольников равен 24. Для прямоугольного треугольника периметр рассчитывается как сумма его сторон: двух катетов и гипотенузы (диагонали прямоугольника). Пусть $d$ — диагональ прямоугольника, тогда периметр треугольника будет:

Подставляем значение периметра:

Из предыдущего шага мы знаем, что $a + b = 14$. Подставляем это в уравнение:

Решаем относительно $d$:

3. Проверка диагонали:

Теперь мы знаем, что диагональ $d = 10$. Проверим это значение с помощью теоремы Пифагора, так как диагональ прямоугольника является гипотенузой прямоугольного треугольника:

Подставляем $d = 10$:

Таким образом, мы получаем систему уравнений:

Для решения этой системы уравнений воспользуемся методом подбора или преобразованием. Поднимем первое уравнение в квадрат:

Распишем это:

Заменим $a^2 + b^2$ на 100 из второго уравнения:

Решим относительно $ab$:

Теперь у нас есть система:

Это система уравнений для нахождения $a$ и $b$. Решим её через дискриминант:

Корни квадратного уравнения $x^2 - (a+b)x + ab = 0$ будут:

Дискриминант этого уравнения:

Корни:

Таким образом, $a = 8$ и $b = 6$.

4. Ответ:

Диагональ прямоугольника равна $10$.