В тетраэдре MNPQ ребро MN=3 корня из 2 см, NP=NQ=7 см, PQ=8см, угол MNP= угол MNQ = 45 градусов . найдите площадь грани MPQ.

Рассмотрим задачу пошагово.

Дано:

• Тетраэдр $MNPQ$
• $MN = 3\sqrt{2}$ см, $NP = NQ = 7$ см, $PQ = 8$ см
• Угол $\angle MNP = \angle MNQ = 45^\circ$

Нам нужно найти площадь грани $MPQ$.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник $MPQ$ и используем теорему косинусов для определения косинуса угла $\angle MPQ$, если потребуется.

2. Вычислим длины сторон $MP$ и $MQ$, используя заданные условия и свойства треугольника $MNP$, у которого известны две стороны и угол между ними.

3. Применение теоремы косинусов в $\triangle MNP$: Для нахождения стороны $MP$, которая противолежит углу $\angle MNP$, воспользуемся теоремой косинусов:

   $$MP^2 = MN^2 + NP^2 - 2 \cdot MN \cdot NP \cdot \cos(\angle MNP)$$

   Подставляем значения:

   $$MP^2 = (3\sqrt{2})^2 + 7^2 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 7 \cdot \cos(45^\circ)$$

   Заметим, что $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Тогда:

   $$MP^2 = 18 + 49 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$

   Упрощаем выражение:

   $$MP^2 = 18 + 49 - 2 \cdot 3 \cdot 7 = 67 - 42 = 25$$

   Следовательно, $MP = \sqrt{25} = 5$ см.

4. Аналогично находим $MQ$, так как угол $\angle MNQ = 45^\circ$ тоже известен:

   $$MQ^2 = MN^2 + NQ^2 - 2 \cdot MN \cdot NQ \cdot \cos(45^\circ)$$

   Подставим значения:

   $$MQ^2 = (3\sqrt{2})^2 + 7^2 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$

   Поскольку расчёты идентичны, мы получим $MQ = 5$ см.

5. Найдём площадь треугольника $MPQ$, зная его стороны $MP = 5$ см, $MQ = 5$ см и $PQ = 8$ см.

   Для этого используем формулу Герона. Сначала находим полупериметр $s$:

   $$s = \frac{MP + MQ + PQ}{2} = \frac{5 + 5 + 8}{2} = 9$$

   Теперь подставим значения в формулу Герона для площади $S$ треугольника:

   $$S = \sqrt{s(s - MP)(s - MQ)(s - PQ)}$$ $$S = \sqrt{9 \cdot (9 - 5) \cdot (9 - 5) \cdot (9 - 8)}$$