Точка F не лежит в плоскости треугольника MNP, точки E,K, T лежат на отрезках FM, FN, и FP, причем FE/FM=FK/FN=FT/FP=2/3 а) Докажите, что плоскости ЕКТ и MNP параллельны.

в) Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника ЕКТ равна 36 см².

СРОЧНО

Ваша задача — решение геометрической задачи, связанной с параллельностью плоскостей и нахождением площадей треугольников. Давайте рассмотрим каждый пункт задачи поочередно.

а) Доказательство параллельности плоскостей EKT и MNP

1. Определение точек деления отрезков: По условию, точки E, K, T делят отрезки FM, FN, FP в соотношении 2/3. Это означает, что эти точки делят соответствующие отрезки на части, пропорциональные 2 и 1. То есть, если мы рассмотрим отрезок FM, то FE составляет 2/3 длины FM, а оставшаяся часть (EM) — 1/3.

2. Пропорциональность отрезков в треугольниках: По свойству пропорциональности отрезков, проведенных к сторонам треугольника, можно утверждать, что если точка делит одну сторону треугольника в определенном соотношении, то любая линия, проведенная через эту точку, будет делить стороны, которые она пересекает, в том же соотношении. Это свойство применяется к каждой из точек E, K, и T.

3. Построение плоскостей: Теперь рассмотрим плоскости EKT и MNP. Плоскость EKT проходит через точки, которые делят стороны треугольника MNP в одинаковом соотношении. Это ключевой момент.

4. Параллельность плоскостей: Согласно теореме о трех параллельных плоскостях, если две плоскости пересекают третью плоскость таким образом, что линии пересечения параллельны, то сами плоскости также параллельны. В нашем случае, линии пересечения образуются отрезками на сторонах треугольника MNP, которые параллельны соответствующим сторонам треугольника EKT. Следовательно, плоскости EKT и MNP параллельны.

б) Нахождение площади треугольника MNP

1. Использование пропорций площадей: Площади подобных фигур пропорциональны квадрату коэффициента подобия. В нашем случае, коэффициент подобия (отношение соответствующих сторон) между треугольниками EKT и MNP равен 3/2 (так как FE/FM = FK/FN = FT/FP = 2/3, значит EM/MF = EN/NF = EP/PF = 1/3, а соотношение сторон обратно пропорционально этим отношениям).

2. Расчет площади MNP: Пусть $S_{EKT}$ — площадь треугольника EKT, а $S_{MNP}$ — площадь треугольника MNP. Тогда: $\frac{S_{EKT}}{S_{MNP}} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$ Подставляя известное значение $S_{EKT} = 36$ см², получаем: $\frac{36}{S_{MNP}} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$ Отсюда можно найти $S_{MNP}$.

3. Вычисление: Решим уравнение: $S_{MNP} = \frac{36}{\left(\frac{2}{3}\right)^2}$

Выполним расчет.