отрезки AB и CD являются хордами окружности. найдите длину хорды CD , если AB = 16, а расстояния от центра до окружности до хорд AB и CD равны соответственно 15 и 8

Рассмотрим задачу с хордой $AB$ длиной 16 и хордой $CD$, которую нужно найти, если расстояния от центра окружности до этих хорд равны соответственно 15 и 8.

Шаг 1: Введение в решение

Пусть $O$ — центр окружности, и $d_1 = 15$ и $d_2 = 8$ — расстояния от центра до хорд $AB$ и $CD$ соответственно. Также известно, что длина хорды $AB = 16$. Используем свойства окружности, чтобы найти длину хорды $CD$.

Шаг 2: Формула для длины хорды

Длина хорды $L$ на окружности может быть найдена через расстояние $d$ от центра до хорды и радиус $R$ окружности по формуле:

где $R$ — радиус окружности.

Шаг 3: Найдём радиус окружности

Поскольку известна длина хорды $AB$ и расстояние от центра до этой хорды, мы можем найти радиус $R$. Для хорды $AB$:

Подставим значения $AB = 16$ и $d_1 = 15$:

Разделим обе стороны на 2:

Возведём обе стороны в квадрат:

Добавим 225 к обеим сторонам:

Найдём $R$:

Шаг 4: Найдём длину хорды $CD$

Теперь, когда радиус $R$ известен, используем его для нахождения длины хорды $CD$ с расстоянием $d_2 = 8$:

Подставим значения $R = 17$ и $d_2 = 8$:

Сначала найдём $17^2$ и $8^2$:

Подставим эти значения:

Найдём $\sqrt{225}$:

Следовательно:

Ответ

Длина хорды $CD$ равна 30.