3. Трапеция ABCD является основанием пирамиды SABCD (AD || BC). Известно, что BC:AD = 1:4. Точки M и K - середины рёбер SA и SB соответственно. В каком отношении плоскость DMK делит ребро SC? ​

Для решения этой задачи можно использовать свойство средней линии трапеции и подобия треугольников.

1. Свойства трапеции и пирамиды: В трапеции ABCD AD || BC, и по условию BC:AD = 1:4. Поскольку SABCD является пирамидой с основанием ABCD, рёбра SA и SB образуют с основанием двугранные углы.

2. Точки M и K: Точки M и K являются серединами рёбер SA и SB соответственно. Это означает, что отрезки SM и SK равны половинам SA и SB соответственно.

3. Плоскость DMK: Плоскость DMK пересекает ребро SC. Нам нужно определить, в каком отношении она делит это ребро.

4. Применение свойства средней линии трапеции: В трапеции, линия, соединяющая середины двух сторон, параллельна основаниям и равна их полусумме. Таким образом, MK является средней линией трапеции, и MK || AD || BC.

5. Подобие треугольников: Рассмотрим треугольники SAD и SBM. Они подобны, потому что имеют общий угол при вершине S и параллельные стороны AD и BM (BM - часть MK, а MK || AD). Аналогично, треугольники SBC и SMK подобны.

6. Отношение сторон в подобных треугольниках: Поскольку BC:AD = 1:4, и треугольники SBC и SAD подобны, отношение их соответствующих сторон также будет 1:4. Таким образом, отношение SB:SA = 1:4. Поскольку M и K середины SA и SB, SM:SK = 1:4.

7. Отношение на ребре SC: Теперь рассмотрим треугольники SMC и SKC. Они подобны, потому что имеют общий угол при вершине S, и их стороны SM и SK параллельны отрезку MK. Из подобия следует, что отношение SC, деленного плоскостью DMK, также будет 1:4.

Таким образом, плоскость DMK делит ребро SC в отношении 1:4.