В конусе через его вершину проведена плоскость, пересекающая основание по хорде длиной 8 см, стягивающей дугу 90˚. Наибольший угол между образующими конуса равен 120˚. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Для решения задачи нужно рассмотреть геометрические свойства конуса и применить несколько формул для вычисления площади полной поверхности.

1. Геометрия задачи:
   В конусе проведена плоскость, которая пересекает основание конуса по хорде длиной 8 см. Эта хорда стягивает дугу в 90°. Это значит, что радиус основания конуса можно найти, используя свойства окружности.

2. Нахождение радиуса основания конуса:
   Хорда, стягивающая дугу 90° на окружности, является стороной квадратного сектора, который делится на два равных прямоугольных треугольника. Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной радиусу основания конуса $r$, и одной из катетов, равной половине хорды (то есть 4 см), мы можем найти радиус:

   $$r = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5.66 \, \text{см}$$

3. Радиус образующей конуса:
   Угол между образующими конуса, который равен 120°, позволяет нам использовать геометрическое соотношение. Известно, что угол между образующими конуса и осью составляет 60° (половина угла 120°), что даёт возможность вычислить длину образующей $l$ через радиус основания $r$:

   $$\sin(60^\circ) = \frac{r}{l} \quad \Rightarrow \quad l = \frac{r}{\sin(60^\circ)} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4\sqrt{2} \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \approx 5.67 \, \text{см}$$

4. Площадь полной поверхности конуса:
   Площадь полной поверхности конуса включает площадь основания и площадь боковой поверхности. Площадь основания — это площадь окружности с радиусом $r$, а площадь боковой поверхности можно найти по формуле:

   $$S_{\text{бок}} = \pi r l$$

   Площадь основания:

   $$S_{\text{осн}} = \pi r^2 = \pi (4\sqrt{2})^2 = \pi \times 32 \approx 100.53 \, \text{см}^2$$

   Площадь боковой поверхности:

   $$S_{\text{бок}} = \pi \times 4\sqrt{2} \times 5.67 \approx 100.53 \, \text{см}^2$$

5. Итоговая площадь полной поверхности:

   $$S_{\text{полная}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 100.53 + 100.53 = 201.06 \, \text{см}^2$$

Ответ: площадь полной поверхности конуса составляет примерно 201.06 см².