Основание пирамиды - квадрат, её высота проходит через одну из вершин основания. Найдите полную поверхность пирамиды, если сторона основания 20 дм, высота 21 дм.

Чтобы найти полную поверхность пирамиды, необходимо рассчитать площадь её основания и площади боковых граней.

1. Площадь основания:
   Основание пирамиды — это квадрат. Площадь квадрата вычисляется по формуле:

   $$S_{\text{осн}} = a^2$$

   где $a$ — длина стороны квадрата. В данном случае $a = 20 \, \text{дм}$.

   Таким образом, площадь основания:

   $$S_{\text{осн}} = 20^2 = 400 \, \text{дм}^2$$

2. Площадь боковой поверхности:
   Площадь боковой поверхности состоит из четырёх треугольных граней. Для того чтобы найти площадь боковых граней, нужно знать площадь одного треугольника.

   Высота каждого треугольника (или апофема) — это расстояние от вершины пирамиды до середины стороны основания. Для вычисления апофемы воспользуемся теоремой Пифагора.

   В основании пирамиды лежит квадрат, и высота пирамиды проходит через одну из вершин этого квадрата. Таким образом, треугольник, образованный высотой пирамиды и половиной стороны основания, является прямоугольным.

   Половина стороны основания:

   $$\frac{20}{2} = 10 \, \text{дм}$$

   Теперь найдём апофему $l$ с использованием теоремы Пифагора:

   $$l = \sqrt{10^2 + 21^2} = \sqrt{100 + 441} = \sqrt{541} \approx 23,26 \, \text{дм}$$

   Теперь можно найти площадь одного треугольника. Площадь треугольника вычисляется по формуле:

   $$S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$$

   где основание — это сторона квадрата, а высота — апофема. Таким образом:

   $$S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times 20 \times 23,26 \approx 232,6 \, \text{дм}^2$$

   Площадь боковой поверхности пирамиды состоит из четырёх таких треугольников, поэтому:

   $$S_{\text{боковая}} = 4 \times 232,6 \approx 930,4 \, \text{дм}^2$$

3. Полная поверхность пирамиды:
   Полная поверхность пирамиды — это сумма площади основания и площади боковой поверхности:

   $$S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{боковая}} = 400 + 930,4 = 1330,4 \, \text{дм}^2$$

Ответ: полная поверхность пирамиды составляет примерно 1330,4 дм².