В треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, tg А = 9/40, AС = 16. Найдите АВ.

В треугольнике $ABC$, где угол $C$ равен 90 градусов, нам нужно найти длину гипотенузы $AB$, зная, что $tg \, A = \frac{9}{40}$ и $AC = 16$.

1. Напоминаем, что тангенс угла $A$ для прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета (в данном случае $BC$) к прилежащему катету (в данном случае $AC$):

   $$tg \, A = \frac{BC}{AC}$$

   Подставляем данные из условия задачи:

   $$\frac{9}{40} = \frac{BC}{16}$$

2. Теперь решим это уравнение для $BC$:

   $$BC = \frac{9}{40} \times 16 = \frac{144}{40} = 3.6$$

   Таким образом, длина катета $BC = 3.6$.

3. Теперь мы можем найти гипотенузу $AB$ с помощью теоремы Пифагора. Согласно теореме Пифагора для прямоугольного треугольника:

   $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

   Подставляем известные значения:

   $$AB^2 = 16^2 + 3.6^2 = 256 + 12.96 = 268.96$$

4. Извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

   $$AB = \sqrt{268.96} \approx 16.4$$

Ответ: $AB \approx 16.4$.