Биссектриса угла BAD ( угол BAD=60) параллелограмма ABCD пересекает продолжение прямой CD за точку C в точке N, CN=2. Найдите BD, если AB=4.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, в котором угол $BAD = 60^\circ$, а биссектриса угла $BAD$ пересекает продолжение стороны $CD$ в точке $N$, при этом $CN = 2$ и $AB = 4$. Необходимо найти длину диагонали $BD$.

1. Рассмотрим свойства биссектрисы и параллелограмма: так как биссектриса угла $BAD$ делит его пополам, то она делит угол $BAD$ на два равных угла по $30^\circ$. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны. Поэтому $\angle ABC = 60^\circ$ и $\angle BCD = 120^\circ$.

2. Используем параллельность сторон: в параллелограмме $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ параллельны и равны по длине. Значит, $CD = AB = 4$.

3. Применим тригонометрию для треугольника $BCD$: чтобы найти длину диагонали $BD$, рассмотрим треугольник $BCD$. Известно, что $\angle BCD = 120^\circ$, $BC = AB = 4$, и $CD = 4$.

4. Используем теорему косинусов в треугольнике $BCD$:

   $$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(120^\circ)$$

   Подставим известные значения:

   $$BD^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos(120^\circ)$$

   Поскольку $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, уравнение принимает вид:

   $$BD^2 = 16 + 16 + 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2}$$ $$BD^2 = 16 + 16 + 16 = 48$$

   Отсюда

   $$BD = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$$

Ответ: длина диагонали $BD = 4\sqrt{3}$.