Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен √3 см. Найдите периметр и площадь треугольника.

Для решения задачи нужно сначала вспомнить несколько ключевых формул и соотношений, которые связаны с правильным треугольником и вписанной окружностью.

1. Формула радиуса вписанной окружности правильного треугольника:

   Радиус вписанной окружности $r$ правильного треугольника связан с его стороной $a$ через формулу:

   $$r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$$

   Где $r$ — радиус вписанной окружности, а $a$ — длина стороны правильного треугольника.

   Из условия задачи известно, что радиус окружности равен $\sqrt{3}$ см. Подставим это значение в формулу:

   $$\sqrt{3} = \frac{a \sqrt{3}}{6}$$

2. Нахождение длины стороны треугольника:

   Чтобы найти сторону треугольника $a$, нужно упростить уравнение:

   $$\sqrt{3} = \frac{a \sqrt{3}}{6}$$

   Умножим обе части уравнения на 6:

   $$6 \sqrt{3} = a \sqrt{3}$$

   Теперь разделим обе стороны на $\sqrt{3}$:

   $$a = 6 \, \text{см}$$

   Таким образом, длина стороны правильного треугольника равна 6 см.

3. Периметр треугольника:

   Периметр правильного треугольника равен трем сторонам, то есть:

   $$P = 3a = 3 \times 6 = 18 \, \text{см}$$

4. Площадь треугольника:

   Площадь правильного треугольника можно найти по формуле:

   $$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$

   Подставляем $a = 6$:

   $$S = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3} \, \text{см}^2$$

Ответ: Периметр треугольника равен 18 см, а его площадь равна $9 \sqrt{3}$ см².