Дан прямоугольный треугольник с периметром 24 и площадью 24. Найти все стороны.

Ответы на вопрос

Отвечает Бердников Андрей.

Давайте решим задачу шаг за шагом, как если бы мы обсуждали её на сайте типа Stack Exchange.

Дано: прямоугольный треугольник с периметром $P = 24$ и площадью $S = 24$ . Нужно найти все стороны. Обозначим стороны как $a$ , $b$ (катеты), и $c$ (гипотенуза).

Шаг 1: Запишем условия

Площадь треугольника:

S = \frac{1}{2} a b = 24 \implies a b = 48

Периметр треугольника:

P = a + b + c = 24

Связь между катетами и гипотенузой (теорема Пифагора):

c^2 = a^2 + b^2

Шаг 2: Выразим гипотенузу через катеты

c = \sqrt{a^2 + b^2}

Подставим в формулу периметра:

a + b + \sqrt{a^2 + b^2} = 24

Также у нас есть $a b = 48$ .

Шаг 3: Используем подстановку через сумму и произведение катетов

Пусть $s = a + b$ . Тогда $c = 24 - s$ .

Также из Пифагора:

c^2 = a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = s^2 - 2 \cdot 48 = s^2 - 96

С другой стороны:

c^2 = (24 - s)^2 = 576 - 48s + s^2

Приравниваем:

s^2 - 96 = 576 - 48 s + s^2

Сокращаем $s^2$ :

-96 = 576 - 48 s \implies -96 - 576 = -48 s \implies -672 = -48 s

s = \frac{672}{48} = 14

Шаг 4: Находим гипотенузу

c = 24 - s = 24 - 14 = 10

Шаг 5: Находим катеты

У нас $a + b = 14$ и $a b = 48$ . Это квадратное уравнение:

x^2 - 14x + 48 = 0

Дискриминант:

\Delta = 14^2 - 4 \cdot 48 = 196 - 192 = 4

Корни:

x = \frac{14 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{14 \pm 2}{2} = 8 \text{ или } 6

То есть катеты $a = 6$ , $b = 8$ (или наоборот).

✅ Ответ:

Стороны прямоугольного треугольника:

\boxed{6, 8, 10}

Это единственный треугольник с целыми сторонами, удовлетворяющий условиям площади и периметра.

Если хотите, могу объяснить, почему нет других решений, кроме этих чисел.

Дан прямоугольный треугольник с периметром 24 и площадью 24. Найти все стороны.

Ответы на вопрос

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Геометрия

Последние заданные вопросы в категории Геометрия