Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром равным 2. Найти скалярное произведение векторов BA1 и BC1? Помогите пожалуйста) ​

Чтобы найти скалярное произведение векторов $\vec{BA_1}$ и $\vec{BC_1}$, давайте сначала выразим эти векторы через координаты и применим формулу скалярного произведения.

1. Зададим координаты вершин куба.

   Пусть куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ расположен в трехмерной системе координат так, что вершина $A$ находится в начале координат $(0, 0, 0)$, а длина ребра куба равна $2$. Тогда координаты вершин будут:

   • $A (0, 0, 0)$
   • $B (2, 0, 0)$
   • $C (2, 2, 0)$
   • $D (0, 2, 0)$
   • $A_1 (0, 0, 2)$
   • $B_1 (2, 0, 2)$
   • $C_1 (2, 2, 2)$
   • $D_1 (0, 2, 2)$

2. Запишем координаты векторов $\vec{BA_1}$ и $\vec{BC_1}$.

   • Чтобы найти координаты вектора $\vec{BA_1}$, вычтем координаты точки $B$ из координат точки $A_1$:

     $$\vec{BA_1} = (0 - 2, 0 - 0, 2 - 0) = (-2, 0, 2)$$

   • Чтобы найти координаты вектора $\vec{BC_1}$, вычтем координаты точки $B$ из координат точки $C_1$:

     $$\vec{BC_1} = (2 - 2, 2 - 0, 2 - 0) = (0, 2, 2)$$

3. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BA_1}$ и $\vec{BC_1}$.

   Формула для скалярного произведения двух векторов $\vec{u} = (x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{v} = (x_2, y_2, z_2)$ имеет вид:

   $$\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2$$

   Подставляем значения из наших векторов:

   $$\vec{BA_1} \cdot \vec{BC_1} = (-2) \cdot 0 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 2 = 0 + 0 + 4 = 4$$