1. Дана равнобедренная трапеция АВСD. Постройте фигуру, симметричную данной относительно:
а)биссектрисы угла В.
б)точки пересечения ее диагоналей.

Решение задачи

Давайте поэтапно разберем построение фигуры, симметричной равнобедренной трапеции $ABCD$ относительно:

а) Биссектрисы угла $B$:

1. Определяем свойства фигуры:

   • Трапеция $ABCD$ равнобедренная, следовательно, боковые стороны $AB$ и $CD$ равны, а основания $AD$ и $BC$ параллельны.
   • Угол $B$ образован сторонами $AB$ и $BC$.

2. Проводим биссектрису угла $B$:

   • Построим биссектрису угла $B$ — прямую, которая делит угол пополам. Она пересекает отрезок $AD$ (нижнее основание) и, возможно, продление $CD$ в точке $M$.

3. Определяем симметрию относительно биссектрисы:

   • Каждая точка фигуры $ABCD$ должна быть отложена симметрично относительно биссектрисы. Для этого:
     • Найдите перпендикуляр от каждой вершины трапеции к биссектрисе.
     • Отложите отрезок такой же длины с другой стороны биссектрисы.

4. Пошаговое построение:

   • Постройте зеркальную точку $A'$ для вершины $A$ относительно биссектрисы. Для этого:
     • Опустите перпендикуляр от $A$ на биссектрису. Обозначьте точку пересечения $P$.
     • Продлите отрезок $AP$ на ту же длину за биссектрису, чтобы получить $A'$.
   • Повторите ту же процедуру для точек $B, C, D$, получив зеркальные точки $B', C', D'$.
   • Соедините полученные точки $A', B', C', D'$, чтобы получить фигуру $A'B'C'D'$, симметричную исходной трапеции.

б) Точки пересечения диагоналей:

1. Определяем свойства фигуры:

   • Диагонали $AC$ и $BD$ равнобедренной трапеции пересекаются в одной точке $O$.

2. Построение симметрии относительно точки $O$:

   • Для симметрии относительно точки достаточно:
     • Соединить точку фигуры с $O$.
     • Продлить этот отрезок за $O$ на ту же длину.

3. Пошаговое построение:

   • Для вершины $A$:
     • Соедините $A$ с $O$.
     • Отложите от $O$ отрезок такой же длины в противоположную сторону. Обозначьте точку $A'$.
   • Повторите ту же процедуру для точек $B, C, D$, получив зеркальные точки $B', C', D'$.
   • Соедините точки $A', B', C', D'$, чтобы получить фигуру $A'B'C'D'$, симметричную исходной трапеции.

Итог:

В первом случае (симметрия относительно биссектрисы угла $B$) новая трапеция будет зеркально отражена относительно прямой, делящей угол $B$. Во втором случае (симметрия относительно точки пересечения диагоналей) фигура будет зеркально отражена относительно точки, а размеры и углы фигуры останутся неизменными.