Точки А и В лежат по одну сторону от плоскости альфа. Точка С лежит на отрезке АВ, и АС:СВ=3:4. Через точки А,В,С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость альфа соответсвенно в точках А1,В1,С1. Найдите СС1, если АА1=а и ВВ1=b(b>a)

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся понятием пропорциональности отрезков, так как точки $A, B, C$ лежат на одной прямой, а через них проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$. Давайте подробно разберем решение.

Дано:

• Точки $A$ и $B$ находятся по одну сторону от плоскости $\alpha$.
• Точка $C$ делит отрезок $AB$ в отношении $AC : CB = 3 : 4$.
• Через точки $A, B, C$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $A_1, B_1, C_1$ соответственно.
• $AA_1 = a$, $BB_1 = b$, и $b > a$.

Необходимо найти длину $CC_1$.

1. Координаты точек на прямой $AB$

Чтобы учитывать отношение деления $AC : CB$, введем координаты точек $A$, $B$ и $C$:

• Пусть точка $A$ имеет координаты $(0, 0, 0)$.
• Пусть точка $B$ имеет координаты $(1, 0, 0)$.
• Точка $C$, находясь между $A$ и $B$, делит отрезок в отношении $3 : 4$, то есть ее координаты будут:

2. Положение точек относительно плоскости $\alpha$

Через точки $A, B, C$ проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость $\alpha$ в точках $A_1, B_1, C_1$. Так как прямые параллельны, их координаты будут связаны с одинаковым масштабным коэффициентом (коэффициентом пропорциональности).

• Пусть расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$ равно $a$, а от точки $B$ до плоскости $\alpha$ — $b$. Тогда расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$ пропорционально ее положению относительно $A$ и $B$.

3. Коэффициент пропорциональности для точки $C$

Так как $C$ делит отрезок $AB$ в отношении $3 : 4$, расстояние $CC_1$ можно выразить через линейную интерполяцию:

4. Формула для $CC_1$

Подставим значения:

Это и есть искомая длина отрезка $CC_1$.

Вывод:

Если $AA_1 = a$ и $BB_1 = b$, а отношение деления $AC : CB = 3 : 4$, то длина $CC_1$ равна: