на стороне АС треугольника АВС отмечена точка К так, что АК=5см, КС=15см. Найдите площадь треугольника АВК И СВК, если АВ=12см, ВС=16см

Для решения задачи найдем площади треугольников $\triangle ABK$ и $\triangle BKC$, используя метод подобия или треугольные пропорции. Исходные данные:

• $AK = 5 \, \text{см}$
• $KC = 15 \, \text{см}$
• $AB = 12 \, \text{см}$
• $BC = 16 \, \text{см}$

Шаг 1: Площадь всего треугольника $\triangle ABC$

Для начала найдем площадь всего треугольника $ABC$, так как это поможет вычислить площади $\triangle ABK$ и $\triangle BKC$.

Используем формулу Герона для нахождения площади $S$ треугольника $ABC$ со сторонами $AB = 12$, $BC = 16$, $AC = AK + KC = 5 + 15 = 20$.

1. Находим полупериметр треугольника $ABC$:

   $$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{12 + 16 + 20}{2} = 24$$

2. Вычисляем площадь $S_{ABC}$ по формуле Герона:

   $$S_{ABC} = \sqrt{p \cdot (p - AB) \cdot (p - BC) \cdot (p - AC)}$$

   Подставим значения:

   $$S_{ABC} = \sqrt{24 \cdot (24 - 12) \cdot (24 - 16) \cdot (24 - 20)} = \sqrt{24 \cdot 12 \cdot 8 \cdot 4} = \sqrt{9216} = 96 \, \text{см}^2$$

Шаг 2: Площади треугольников $\triangle ABK$ и $\triangle BKC$

Точка $K$ делит сторону $AC$ в отношении $AK : KC = 5 : 15 = 1 : 3$. Это значит, что площади треугольников $ABK$ и $BKC$ также будут относиться как $1 : 3$, так как треугольники $ABK$ и $BKC$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $B$ на сторону $AC$.

1. Площадь $S_{ABK}$:

   $$S_{ABK} = \frac{1}{4} \cdot S_{ABC} = \frac{1}{4} \cdot 96 = 24 \, \text{см}^2$$

2. Площадь $S_{BKC}$:

   $$S_{BKC} = \frac{3}{4} \cdot S_{ABC} = \frac{3}{4} \cdot 96 = 72 \, \text{см}^2$$

Ответ

Площадь треугольника $ABK$ равна $24 \, \text{см}^2$, а площадь треугольника $BKC$ равна $72 \, \text{см}^2$.