Если длины катетов прямоугольного треугольника являются корнями квадратного уравнения с рациональными коэффициентами и длина одного из катетов равна √5+3, то найдите площадь этого треугольника.

Пусть один катет равен \(3+\sqrt{5}\). Если корни квадратного уравнения с рациональными коэффициентами содержат иррациональное число вида \(a+\sqrt{b}\), то вторым корнем обычно является сопряжённое число \(a-\sqrt{b}\).

Значит, второй катет равен \(3-\sqrt{5}\).

Площадь прямоугольного треугольника:

\[S=\frac{1}{2}ab\]

Подставим катеты:

\[S=\frac{1}{2}(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})\]

Используем формулу разности квадратов:

\[(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})=9-5=4\]

Тогда:

\[S=\frac{1}{2}\cdot4=2\]

Ответ: \(2\).

0 0 Пожаловаться