Вписанная и вневписанная окружности треугольника ABC касаются стороны BC в точках P и Q. Вневписанные окружности треугольника ABC касаются продолжений стороны BC за точки B и C в точках X и Y. Найдите расстояние между серединами отрезков PQ и XY, если BC = 24.

Пусть \(BC = a = 24\). Обозначим полупериметр \(s = \frac{a+b+c}{2}\).

Точка касания вписанной окружности \(P\): \(BP = s - b\), \(PC = s - c\). Точка касания вневписанной окружности (противоположной вершине \(A\)) \(Q\): \(BQ = s - c\), \(QC = s - b\). Середина \(PQ\) имеет координату \(\frac{(s-b)+(s-c)}{2} = \frac{a}{2}\), то есть это середина \(BC\).

Вневписанная окружность, противоположная \(C\), касается продолжения \(BC\) за точку \(B\) в точке \(X\): \(BX = s - a\), значит \(X\) находится на расстоянии \(s-a\) левее \(B\). Вневписанная окружность, противоположная \(B\), касается продолжения \(BC\) за точку \(C\) в точке \(Y\): \(CY = s - a\), значит \(Y\) находится на расстоянии \(s\) от \(B\) (так как \(BC = a\)). Середина \(XY\): \(\frac{-(s-a) + s}{2} = \frac{a}{2}\).

Обе середины совпадают с серединой \(BC\), поэтому расстояние между ними равно \(0\).

Ответ: \(0\).

0 0 Пожаловаться