Пусть r — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, а [tex]r_1, r_2, r_3[/tex] — радиусы трёх вневписанных окружностей (вневписанная окружность касается одной стороны треугольника и продолжений двух других).
Доказать, что [tex]\frac{1}{r}=\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}[/tex]

Обозначим стороны треугольника через \(a\), \(b\), \(c\), полупериметр через \(s\), а площадь через \(S\):

\[s=\frac{a+b+c}{2}\]

Для вписанной окружности известно:

\[S=rs\]

Значит:

\[r=\frac{S}{s}\]

Для трёх вневписанных окружностей радиусы выражаются так:

\[r_1=\frac{S}{s-a},\quad r_2=\frac{S}{s-b},\quad r_3=\frac{S}{s-c}\]

Тогда:

\[\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}=\frac{s-a}{S}+\frac{s-b}{S}+\frac{s-c}{S}\]

Сложим числители:

\[(s-a)+(s-b)+(s-c)=3s-(a+b+c)\]

Так как \(a+b+c=2s\), получаем:

\[3s-2s=s\]

Значит:

\[\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}=\frac{s}{S}\]

Но из формулы \(r=\frac{S}{s}\) следует:

\[\frac{1}{r}=\frac{s}{S}\]

Следовательно:

\[\frac{1}{r}=\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}\]

Что и требовалось доказать.

0 0 Пожаловаться