В треугольнике ABC на его медиане ВМ отмечены точка К так,что ВК:КМ=6:7 прямая АК пересекает сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника ВКР к площади треугольника АВК

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами медиан, отношений площадей треугольников и теоремой о пересечении медиан.

1. Пусть треугольник $ABC$ с вершинами $A$, $B$, $C$, и медиана $BM$ делит сторону $AC$ пополам в точке $M$. Таким образом, $M$ — середина отрезка $AC$.

2. Рассмотрим точку $K$ на медиане $BM$, такую что $BK:KM = 6:7$. Это делит медиану в соотношении 6 к 7, и мы можем определить, что точка $K$ делит медиану $BM$ в этом отношении, что позже поможет найти пропорции площадей треугольников.

3. Пусть точка $P$ — точка пересечения прямой $AK$ и стороны $BC$.

Для того чтобы найти отношение площадей треугольников $BKR$ и $ABK$, можно воспользоваться следующим методом:

Шаг 1: Определим коэффициенты деления

Поскольку $K$ делит медиану $BM$ в отношении $6:7$, мы можем использовать известное свойство, что медиана делит площадь треугольника на две равные части. А значит, площадь $\triangle ABM$ равна $\frac{1}{2}$ площади $\triangle ABC$.

Теперь, поскольку $K$ делит медиану $BM$ в отношении $6:7$, можно считать, что отношение площадей треугольников $ABK$ и $AKM$ также будет делиться в этом же отношении, так как высоты, проведенные из точки $A$ к прямой $BC$, одинаковы для треугольников $ABK$ и $AKM$. Следовательно, площадь треугольника $ABK$ составляет $\frac{6}{6+7} = \frac{6}{13}$ от площади треугольника $ABC$.

Шаг 2: Определим отношение площадей треугольников $BKR$ и $ABK$

Так как точка $P$ лежит на прямой $AK$ и делит сторону $BC$ в некотором отношении, используем свойства подобия. Треугольники $BKR$ и $ABK$ имеют общий угол $\angle BAK$, и так как прямая $AK$ пересекает сторону $BC$, они будут подобны с коэффициентом подобия, зависящим от отношения деления точки $K$ на медиане $BM$.

Поскольку $BK : KM = 6 : 7$, и медиана делит противоположную сторону пополам, можно заключить, что площадь треугольника $BKR$ составляет $\frac{6}{13}$ от площади треугольника $ABK$.

Ответ

Отношение площади треугольника $BKR$ к площади треугольника $ABK$ равно:

Таким образом, окончательный ответ: отношение площади треугольника $BKR$ к площади треугольника $ABK$ равно $\frac{6}{13}$.