Срочно! в треугольнике авс на его медиане вм отмечена точка К так что ВК:КМ=10:9. прямая АК пересекает сторону ВС в точке Р. найдите отношение площади четырехугольника КРСМ к площади треугольника АВС

Чтобы решить эту задачу, давайте внимательно рассмотрим расположение точек и вычислим отношение площадей фигур, которые нам нужны.

1. Определим точки и пропорции:

• В треугольнике $\triangle ABC$ медиана $BM$ делит сторону $AC$ пополам.
• На медиане $BM$ отмечена точка $K$, такая что $BK : KM = 10 : 9$.
• Прямая $AK$ пересекает сторону $BC$ в точке $P$.

2. Зададимся соотношениями площадей:

• Поскольку $BM$ — медиана, она делит треугольник $ABC$ на два равных по площади треугольника: $\triangle ABM$ и $\triangle BMC$. Следовательно, площади $\triangle ABM$ и $\triangle BMC$ равны и составляют по $\frac{1}{2}$ от площади $\triangle ABC$.
• Точка $K$ делит $BM$ в отношении $10 : 9$. Это значит, что отрезок $BK$ составляет $\frac{10}{10+9} = \frac{10}{19}$ от медианы $BM$, а $KM$ — $\frac{9}{19}$ от $BM$.

3. Площадь четырехугольника $KRSM$: Чтобы найти отношение площади четырехугольника $KRSM$ к площади треугольника $ABC$, учтем следующую важную деталь: поскольку $K$ делит медиану $BM$ в отношении $10 : 9$, и медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, четырехугольник $KRSM$ оказывается частью одного из этих треугольников.

• Точка $P$ — точка пересечения прямой $AK$ с $BC$. Так как $K$ делит $BM$ в отношении $10 : 9$, прямая $AK$ также делит треугольник $ABC$ на части, в которых отношение площадей треугольников, содержащих отрезки $BK$ и $KM$, будет пропорционально этим же частям.

• Из свойств медиан и свойств деления медианы точкой (поскольку $K$ делит медиану в отношении $10:9$), площадь четырехугольника $KRSM$ составит $\frac{9}{19}$ от половины площади треугольника $ABC$.

4. Итоговое отношение площадей: Площадь четырехугольника $KRSM$ составляет $\frac{9}{19} \times \frac{1}{2} = \frac{9}{38}$ от площади треугольника $ABC$.

Ответ: Отношение площади четырехугольника $KRSM$ к площади треугольника $ABC$ равно $\frac{9}{38}$.