В окружности радиуса 5 см проведена хорда AB=6 см. На прямой AB вне хорды отмечена точка P так, что AP:PB=5:2. Найдите расстояние от точки P до центра окружности.

Для решения задачи начнем с анализа окружности радиуса $R = 5$ см и хорды $AB = 6$ см, которая проходит через точку $O$ — центр окружности. Мы ищем расстояние от некоторой точки $P$ (расположенной на прямой, проходящей через $A$ и $B$, но вне отрезка $AB$) до центра окружности.

Шаг 1. Найдем расстояние от центра окружности до хорды $AB$

Пусть $O$ — центр окружности. Расстояние от центра окружности до хорды $AB$ обозначим как $d$. Так как хорда не проходит через центр, расстояние $d$ меньше радиуса окружности.

Чтобы найти $d$, используем формулу для расстояния от центра окружности до хорды:

Подставляем значения:

Таким образом, расстояние от центра окружности $O$ до хорды $AB$ равно $4$ см.

Шаг 2. Определим координаты точек $A$, $B$ и $O$

Предположим, что центр окружности $O$ находится в начале координат, то есть $O(0, 0)$, и хорда $AB$ проходит на высоте $d = 4$ см над центром. Это значит, что точки $A$ и $B$ симметричны относительно оси $OY$ и находятся на одинаковом расстоянии от центра вдоль оси $X$.

Так как длина $AB = 6$ см, то каждая из половинок составляет $3$ см. Следовательно, координаты точек $A$ и $B$ будут:

Шаг 3. Найдем координаты точки $P$

По условию, точка $P$ делит отрезок $AB$ в отношении $AP : PB = 5 : 2$. Это значит, что $P$ находится за пределами отрезка $AB$ и ближе к $A$ (в направлении от $B$).

Используем формулу для деления отрезка в заданном отношении. Если точка $P$ делит отрезок $AB$ в отношении $m:n$, то ее координаты $(x_P, y_P)$ находятся по формуле:

Подставляем $m = 5$ и $n = -2$ (так как точка находится вне отрезка):

Таким образом, координаты точки $P$ будут $P\left(-\frac{9}{7}, 4\right)$.

Шаг 4. Найдем расстояние от точки $P$ до центра окружности $O$

Теперь используем формулу для вычисления расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$