Составить уравнение окружности радиуса r = 5 и касающейся прямой 2х - у + 4 = 0 в точке (-1, 2).

Прямая \( 2x - y + 4 = 0 \) имеет нормальный вектор \( (2, -1) \). Центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной данной и проходящей через точку касания \( (-1, 2) \). Параметрические уравнения этой прямой: \( x = -1 + 2t \), \( y = 2 - t \).

Расстояние от центра \( (x_0, y_0) \) до прямой должно равняться радиусу \( r = 5 \). По формуле расстояния от точки до прямой \( \frac{|2x_0 - y_0 + 4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = 5 \). Подставляем \( x_0 = -1 + 2t \), \( y_0 = 2 - t \):
\( 2(-1 + 2t) - (2 - t) + 4 = -2 + 4t - 2 + t + 4 = 5t \).
Тогда \( \frac{|5t|}{\sqrt{5}} = 5 \), откуда \( |t| = \sqrt{5} \). Значит, \( t = \sqrt{5} \) или \( t = -\sqrt{5} \).

Получаем два возможных центра:
\( O_1(-1 + 2\sqrt{5},\; 2 - \sqrt{5}) \),
\( O_2(-1 - 2\sqrt{5},\; 2 + \sqrt{5}) \).

Уравнения окружностей:
\( (x + 1 - 2\sqrt{5})^2 + (y - 2 + \sqrt{5})^2 = 25 \),
\( (x + 1 + 2\sqrt{5})^2 + (y - 2 - \sqrt{5})^2 = 25 \).

0 0 Пожаловаться