16)Выведите уравнение окружности данного радиуса с центром в данной точке.
18)Выведите уравнение данной прямой в прямоугольной системе координат.
21)Приведите примеры использования уравнений окружности и прямой при решении геометрических задач.

16) Уравнение окружности с данным радиусом и центром в данной точке

Уравнение окружности в прямоугольной системе координат можно записать по формуле:

где:

• $(x_0, y_0)$ — координаты центра окружности,
• $r$ — радиус окружности.

Например, если центр окружности находится в точке $(2, 3)$, а радиус равен 5, то уравнение будет следующим:

Это уравнение описывает все точки, которые находятся на расстоянии 5 от точки $(2, 3)$.

18) Уравнение прямой в прямоугольной системе координат

Уравнение прямой в прямоугольной системе координат можно выразить через два распространенных вида:

1. Общее уравнение прямой (или каноническое):

где $A$, $B$ и $C$ — некоторые постоянные, которые определяют положение прямой на плоскости.

2. Уравнение прямой через угловой коэффициент (или уравнение прямой в виде наклона):

где:

• $m$ — угловой коэффициент прямой (наклон),
• $b$ — значение $y$-координаты точки пересечения прямой с осью $y$ (ордината на оси $y$).

Пример: если угловой коэффициент прямой равен $2$, а точка пересечения с осью $y$ — $3$, то уравнение прямой будет:

21) Примеры использования уравнений окружности и прямой при решении геометрических задач

Пример 1: Задача на нахождение расстояния от точки до прямой

Предположим, что нужно найти расстояние от точки $A(x_1, y_1)$ до прямой $Ax + By + C = 0$. В таком случае используется формула для расстояния от точки до прямой:

Это полезная задача при решении различных геометрических проблем, например, при анализе расположения точек относительно прямой или нахождении минимального расстояния от объекта до границы.

Пример 2: Задача на пересечение прямой и окружности

Предположим, что дана окружность с уравнением $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$ и прямая с уравнением $Ax + By + C = 0$. Задача состоит в нахождении точек пересечения этой прямой с окружностью.

Для этого нужно решить систему уравнений:

1. $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$
2. $Ax + By + C = 0$

Решение этой системы даст координаты точек пересечения прямой и окружности, если такие точки существуют.

Пример 3: Задача на нахождение уравнения касательной к окружности

Если дана окружность с уравнением $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$ и точка $P(x_1, y_1)$, которая лежит на этой окружности, то задача может заключаться в нахождении уравнения касательной к окружности в точке $P$. Для нахождения уравнения касательной используется следующее уравнение:

Такое уравнение позволяет определить прямую, которая касается окружности в точке $P$.

Эти и другие задачи активно используются при решении геометрических задач на планиметрии и аналитической геометрии.