В треугольнике АВС с тупыи углом В О-точка пересечения серединных перпендикуляров,АС=4корень из 2дм,угол АОС=90 градусов.Найдите радиус окружности,описанной около треугольника,и уголАВС.

Для решения данной задачи давайте разберём её пошагово.

Дано:

1. $\triangle ABC$ с тупым углом $\angle B > 90^\circ$.
2. $O$ — точка пересечения серединных перпендикуляров (центр описанной окружности).
3. $AC = 4\sqrt{2} \, \text{дм}$.
4. $\angle AOC = 90^\circ$ (центр $O$ образует прямой угол с вершинами $A$ и $C$).

Нужно найти:

• радиус описанной окружности ($R$);
• угол $\angle ABC$.

Шаг 1: Свойства описанной окружности

Точка $O$, как центр описанной окружности, равномерно удалена от всех трёх вершин треугольника. Угол $\angle AOC = 90^\circ$ говорит о том, что дуга $AC$, которую стягивает хорда $AC$, равна $180^\circ$. Это возможно только в случае, если $AC$ является диаметром окружности.

Следовательно:

где $R$ — радиус окружности.

Подставим значение $AC = 4\sqrt{2}$:

Шаг 2: Использование тупого угла $\angle B$

Треугольник $ABC$ тупоугольный, с тупым углом в $B$. Радиус окружности $R = 2\sqrt{2}$, центр окружности $O$ лежит за пределами треугольника $ABC$, так как $B$ тупой угол.

Используем соотношение:

Но поскольку $\angle AOC = 90^\circ$, векторы $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OC}$ перпендикулярны, а значит, скалярное произведение равно нулю:

Шаг 3: Угол $\angle ABC$

Угол $\angle ABC$ можно найти с помощью косинусной теоремы. Для этого выразим сторону $AB$ или $BC$. Однако проще воспользоваться тригонометрическими соотношениями.

Так как $AC$ — диаметр, точка $B$ лежит на окружности, а $\angle ABC > 90^\circ$. Угол $\angle ABC$ удовлетворяет следующему соотношению:

Поскольку $\angle AOC = 90^\circ$:

Ответ:

1. Радиус описанной окружности: $R = 2\sqrt{2} \, \text{дм}$.
2. Угол $\angle ABC = 135^\circ$.