К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник АВС, проведена касательная, пересекающая боковые стороны АС и ВС в точках D и Е соответственно.Найдите периметр треугольника CDE, если периметр треугольника АВС равен 20 см и АВ = 6 см.

Давайте решим задачу пошагово.

1. Понимание геометрической ситуации:

   • У нас есть равнобедренный треугольник $ABC$, в который вписана окружность.
   • К этой окружности проведена касательная, которая пересекает боковые стороны $AC$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно.
   • Необходимо найти периметр треугольника $CDE$, если периметр треугольника $ABC$ равен 20 см, а $AB = 6$ см.

2. Используем известные геометрические свойства: В равнобедренном треугольнике с вписанной окружностью отрезки касательных, проведённых из одной вершины к окружности, равны. То есть:

   • Отрезок $AD = AE$,
   • Отрезок $BD = BE$,
   • Отрезок $CD = CE$.

   Это важное свойство поможет нам упростить решение.

3. Периметр треугольника $ABC$: Мы знаем, что периметр треугольника $ABC$ равен 20 см, а $AB = 6$ см. Периметр треугольника — это сумма длин его сторон:

   $$P_{ABC} = AB + AC + BC = 20 \, \text{см}.$$

   Так как треугольник равнобедренный, то $AC = BC$. Обозначим длину этих сторон за $x$. Тогда:

   $$6 + x + x = 20 \implies 2x = 14 \implies x = 7 \, \text{см}.$$

   То есть, $AC = BC = 7$ см.

4. Длина отрезков в треугольнике $CDE$: Так как касательные, проведённые из одной точки, равны, то:

   • $CD = CE = x - AD = 7 - AD$,
   • $DE = AB = 6$ см.

   Также, из-за симметрии, можно утверждать, что:

   • $AD = AE$.

5. Выразим периметр треугольника $CDE$: Теперь мы можем вычислить периметр треугольника $CDE$:

   $$P_{CDE} = CD + DE + CE = (7 - AD) + 6 + (7 - AD).$$

   Упростим выражение:

   $$P_{CDE} = 14 - 2AD + 6 = 20 - 2AD.$$

6. Найдем значение $AD$: Значение $AD$ (или $AE$) можно найти из того, что точка касания окружности с каждой стороной делит её на два отрезка, длины которых равны разности полупериметра треугольника и длины соответствующей стороны. Полупериметр треугольника $ABC$ равен:

   $$p = \frac{P_{ABC}}{2} = \frac{20}{2} = 10 \, \text{см}.$$

   Тогда:

   $$AD = AE = p - AB = 10 - 6 = 4 \, \text{см}.$$

7. Вычислим периметр треугольника $CDE$: Теперь, зная, что $AD = 4$ см, подставим это значение в выражение для периметра:

   $$P_{CDE} = 20 - 2 \times 4 = 20 - 8 = 12 \, \text{см}.$$

Таким образом, периметр треугольника $CDE$ равен 12 см.