1. В трапеции MPKE точка A лежит на большем основании ME, AM=MP=a, AE=EK. Найти площадь трапеции, если её диагонали проходят через точку пересечения медиан треугольника PAK.

2. Трапеция вписана в окружность. Её основания 6 и 8 дм, высота 1 дм. Найти радиус окружности, если известно, что основания находятся по одну сторону от центра.

1. Пусть большее основание \(ME=2x\), меньшее основание \(PK=x\), высота трапеции равна \(h\). Так как точка пересечения диагоналей трапеции совпадает с точкой пересечения медиан треугольника \(PAK\), из отношения координат получается \(ME=2PK\).

Возьмём координаты: \(M(0;0)\), \(E(2a;0)\), \(A(a;0)\), \(P(u;h)\), \(K(u+a;h)\). Из условия \(MP=a\):

\[u^2+h^2=a^2\]

Из условия \(AE=EK\), причём \(AE=a\):

\[(a-u)^2+h^2=a^2\]

Вычитаем уравнения и получаем \(u=\frac a2\). Тогда:

\[h^2=a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4}\]

\[h=\frac{a\sqrt3}{2}\]

Площадь трапеции:

\[S=\frac{ME+PK}{2}\cdot h=\frac{2a+a}{2}\cdot\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{3a^2\sqrt3}{4}\]

Ответ к 1: \(\frac{3a^2\sqrt3}{4}\).

2. Вписанная в окружность трапеция является равнобедренной, поэтому центр окружности лежит на оси симметрии. Пусть расстояние от центра до основания длиной \(8\) равно \(x\). Тогда до основания длиной \(6\) расстояние равно \(x+1\), так как основания находятся по одну сторону от центра, а высота равна \(1\).

Для хорды длиной \(8\):

\[R^2=x^2+4^2\]

Для хорды длиной \(6\):

\[R^2=(x+1)^2+3^2\]

Приравняем:

\[x^2+16=(x+1)^2+9\]

\[x^2+16=x^2+2x+10\]

\[2x=6\]

\[x=3\]

Тогда:

\[R^2=3^2+4^2=25\]

\[R=5\]

Ответ к 2: \(5\) дм.

0 0 Пожаловаться