1. В трапеции АВСD АВ || СD, диагонали АС и ВD пересекаются в точке О. а) Докажите, что АО : ОС = ВО

: ОD. б) Найдите АВ, если ОD = 15 см, ОВ = 9 см, СD = 25 см. в) Найдите отношение площадей треугольников Хотя бы только а)

Решение задачи: доказательство соотношения $AO : OC = BO : OD$

Условие:

В трапеции $ABCD$:

• $AB \parallel CD$,
• диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Требуется доказать, что $\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}$.

Доказательство:

1. Обозначим трапецию:

   • Основания $AB$ и $CD$, $AB \parallel CD$.
   • Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, которая делит их на отрезки: $AO$ и $OC$, $BO$ и $OD$.

2. Используем теорему о пересечении диагоналей трапеции: Теорема утверждает, что точка пересечения диагоналей трапеции делит их на отрезки, пропорциональные основаниям трапеции:

   $$\frac{AO}{OC} = \frac{AB}{CD}, \quad \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{CD}.$$

3. Сравнение дробей: Из соотношений:

   $$\frac{AO}{OC} = \frac{AB}{CD}, \quad \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{CD},$$

   следует, что:

   $$\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}.$$

4. Заключение: Мы доказали, что:

   $$\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}.$$

Это ключевое свойство трапеции, основанное на пропорциональности отрезков диагоналей, делимых точкой пересечения.