Один угол треугольника в 2 раза меньше другого, а противоположные от них стороны равны 5 и 8. Найдите
радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

Для решения задачи найдем радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

Обозначим углы треугольника $A, B, C$, где $\angle A = 2\angle B$. Соответственно, пусть $\angle B = x$, тогда $\angle A = 2x$. Угол $\angle C$ можно найти из условия, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

Против угла $A$ лежит сторона длиной $8$, против угла $B$ — сторона длиной $5$.

Шаг 1. Применим теорему синусов

Согласно теореме синусов:

где $R$ — радиус описанной окружности, $a, b, c$ — стороны треугольника.

Подставим известные значения. Для сторон $a = 8$ и $b = 5$ это даст:

Шаг 2. Связь синусов углов

Используем формулу синуса двойного угла:

Подставим это в первое уравнение:

Сократим на $\sin x$ (предполагая, что $\sin x \neq 0$):

Отсюда находим $\cos x$:

Шаг 3. Найдем $\sin x$

Используем основное тригонометрическое тождество:

Подставим $\cos x = 0.8$:

Шаг 4. Найдем радиус $R$

Теперь воспользуемся выражением $2R = \frac{8}{\sin(2x)}$. Найдем $\sin(2x)$:

Подставим $\sin(2x)$ в формулу для $R$:

Ответ:

Радиус описанной окружности равен примерно $4.17$.