Основание пирамиды SABC — правильный треугольник со стороной 2√3. Боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания, а грань BSC наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды находится по формуле

где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Основание $ABC$ — правильный треугольник со стороной

Площадь правильного треугольника:

Подставим:

Так как боковое ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания, то $SA$ является высотой пирамиды. Нужно найти $SA$.

Рассмотрим грань $BSC$. Она наклонена к плоскости основания под углом $60^\circ$. Линия пересечения этой грани с основанием — это ребро $BC$.

Чтобы использовать двугранный угол, возьмём в основании точку $M$ — середину стороны $BC$. В правильном треугольнике $ABC$ отрезок $AM$ является высотой, поэтому

Так как $SA \perp (ABC)$, то $SA \perp BC$. Следовательно, плоскость $SAM$ перпендикулярна прямой $BC$, и угол между плоскостями $BSC$ и $ABC$ равен углу между прямыми $SM$ и $AM$, то есть

Теперь найдём $AM$. В правильном треугольнике высота равна

Подставим $a=2\sqrt3$:

В прямоугольном треугольнике $SAM$ угол при $A$ прямой, потому что $SA\perp (ABC)$, значит $SA\perp AM$.

Из треугольника $SAM$:

Так как

получаем:

откуда

Теперь вычислим объём пирамиды: