Квадрат 10×10 разрезали на прямоугольники по линиям сетки, площади которых различны и выражаются натуральными числами. Какое наибольшее число прямоугольников получится? Приведите пример.

Наибольшее число прямоугольников — 13.

Действительно, если прямоугольников $n$, то их площади — различные натуральные числа, а их сумма равна площади квадрата:

Наименьшая возможная сумма $14$ различных натуральных чисел равна

Значит, $14$ прямоугольников быть не может, то есть число прямоугольников не превосходит $13$.

Осталось показать, что $13$ достижимо.

Разрежем квадрат вертикальными линиями на полосы ширин

В каждой полосе сделаем горизонтальные разрезы так:

Во всех полосах высоты суммируются до $10$, поэтому они полностью заполняют квадрат $10\times10$. Всего прямоугольников:

Их площади:

то есть все различны, а сумма равна

Следовательно, максимум равен $13$.