СРОЧНО!!!!!!!! На листе бумаги, являющимся квадратом PQML, прорезано отверстие - равносторонний треугольник ABCтак, что AB||PL и AB:PL=1:2. Затем квадрат свернут в круглую цилиндрическую поверхность, ось которой перпендикулярна к отрезку AB. Найдите отношение площади квадрата к площади треугольника АВС, вершины которого лежат на цилиндрической поверхности

Давайте разберемся шаг за шагом.

1. Исходные данные:

   • У нас есть квадрат PQML.
   • На этом квадрате прорезан равносторонний треугольник ABC, причём его основание AB параллельно отрезку PL, и отношение длин сторон $AB:PL = 1:2$.
   • Далее квадрат свертывается в цилиндрическую поверхность, ось которой перпендикулярна к отрезку AB.

2. Геометрия квадрата: Пусть длина стороны квадрата PQML равна $a$. Площадь квадрата тогда будет равна $a^2$.

3. Отверстие в квадрате: Прорезан равносторонний треугольник ABC, основание которого $AB$ параллельно отрезку PL квадрата. По условию, длина отрезка $AB$ составляет $\frac{a}{2}$, так как $AB:PL = 1:2$, а $PL = a$.

   Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:

   $$S_{\triangle ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot AB^2$$

   Подставляем $AB = \frac{a}{2}$:

   $$S_{\triangle ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left( \frac{a}{2} \right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a^2}{4} = \frac{\sqrt{3}}{16} \cdot a^2$$

4. Свертывание квадрата в цилиндр: Когда квадрат свертывается в цилиндр, его площадь разворачивается по боковой поверхности цилиндра. Ось цилиндра перпендикулярна основанию треугольника, то есть перпендикулярна отрезку $AB$.

   Обратите внимание, что для формирования боковой поверхности цилиндра, длина окружности будет равна длине периметра квадратного листа, а высота цилиндра будет равна $AB$. Таким образом, радиус основания цилиндра $r$ связан с длиной отрезка $AB$ следующим образом:

   $$2\pi r = a \quad \text{или} \quad r = \frac{a}{2\pi}$$

   Площадь боковой поверхности цилиндра можно выразить через радиус $r$ и высоту $h = AB$ как:

   $$S_{\text{цилиндр}} = 2\pi r h = 2\pi \cdot \frac{a}{2\pi} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{2}$$

5. Площадь треугольника, вершины которого лежат на цилиндрической поверхности: Мы ищем площадь треугольника, вершины которого лежат на цилиндрической поверхности. Этот треугольник будет располагаться на боковой поверхности цилиндра, и его площадь будет пропорциональна площади боковой поверхности.

   Площадь этого треугольника (также как и площадь боковой поверхности цилиндра) будет $\frac{a^2}{2}$, как и ранее найденная площадь цилиндрической поверхности.

6. Итоговое отношение: Теперь можем найти отношение площади квадрата к площади треугольника, вершины которого лежат на цилиндрической поверхности. Площадь квадрата $S_{\text{квадрат}} = a^2$, а площадь треугольника на поверхности цилиндра $S_{\text{треугольник}} = \frac{a^2}{2}$.

   Таким образом, искомое отношение:

   $$\frac{S_{\text{квадрат}}}{S_{\text{треугольник}}} = \frac{a^2}{\frac{a^2}{2}} = 2$$

Ответ: отношение площади квадрата к площади треугольника, вершины которого лежат на цилиндрической поверхности, равно $2$.