Рисунки + решение №1 SABC - треугольная пирамида, Е - середина ребра АS. O - точка пересечения

Ответы на вопрос

Отвечает Поляков Вадим.

№1. Тетраэдр SABC. E — середина AS, O — точка пересечения медиан грани ABC

1) Верно ли, что BE и SO скрещивающиеся?

Рассмотрим расположение прямых.

Точка E лежит на ребре AS, значит прямая BE принадлежит плоскости грани ABS.
Прямая SO проходит через вершину S и точку O, которая лежит в плоскости основания ABC.

Плоскости ABS и ABC пересекаются по прямой AB.

Прямая BE лежит в плоскости ABS, а прямая SO не лежит в этой плоскости (так как точка O не принадлежит плоскости ABS в общем случае).

Также:

BE и SO не пересекаются (общих точек нет),
и не могут быть параллельны (так как одна проходит через грань ABS, другая “уходит” к основанию).

Вывод:
? BE и SO — скрещивающиеся прямые.

2) Как расположены BE и AC?

AC лежит в плоскости основания ABC.
BE лежит в плоскости грани ABS.

Рассмотрим возможное пересечение:

BE пересекает плоскость ABC в точке B (так как B принадлежит ABC).
Но точка B не лежит на AC, значит BE и AC не пересекаются.

Параллельность невозможна, так как:

BE не лежит в плоскости ABC.

Вывод:
? BE и AC — скрещивающиеся прямые.

3) Докажите, что EO и BC скрещивающиеся

Точка O лежит в плоскости ABC.
Точка E не лежит в плоскости ABC (она на ребре AS).

Значит прямая EO пересекает плоскость ABC только в точке O.

Прямая BC целиком лежит в плоскости ABC.

Проверим пересечение:

EO ∩ BC возможно только если O ∈ BC.
Но O — точка пересечения медиан треугольника ABC, она не лежит на стороне BC.

Следовательно:

EO и BC не пересекаются,
параллельными быть не могут (EO пересекает плоскость ABC в одной точке).

Вывод:
? EO и BC — скрещивающиеся прямые.

№2. Призма ABC A₁B₁C₁. O — середина BB₁, T — середина CC₁

Нужно проверить:
верно ли, что B₁T и A₁C₁ параллельны плоскости AOC?

Шаг 1. Плоскость AOC

A и C лежат в основании.
O — середина вертикального ребра BB₁.

Значит плоскость AOC — наклонная плоскость, пересекающая призму.

Шаг 2. Прямая A₁C₁

A₁C₁ — верхнее ребро призмы, параллельное AC.
Но AC лежит в плоскости AOC.

Следовательно:
? A₁C₁ ∥ плоскости AOC, потому что параллельна прямой AC, лежащей в этой плоскости.

Шаг 3. Прямая B₁T

B₁ — верхняя вершина над B
T — середина CC₁

Вектор B₁T имеет вертикальную и горизонтальную составляющие.
При анализе направлений видно, что его проекция на основание параллельна BC, а BC выражается через комбинацию направлений в плоскости AOC.

Следовательно направление B₁T также не пересекает плоскость AOC и параллельно ей.

Вывод:
? B₁T ∥ плоскости AOC
? A₁C₁ ∥ плоскости AOC

№3. Пространственная конфигурация

Дано:

ABMK — параллелограмм,
ABC — треугольник, не лежащий в одной плоскости с параллелограммом,
E — середина BC₁,
D₁ — середина AC,
P — середина MA.

Нужно установить взаимное расположение ME и P… (по условию — PO).

Анализ

Точка E лежит на ребре BC₁, то есть в одной пространственной “связке” с треугольником ABC.
Точка M принадлежит параллелограмму ABMK.
→ значит прямая ME соединяет разные неплоские фигуры, она выходит из одной плоскости в другую.
Точка P — середина MA, значит лежит в плоскости параллелограмма.
Точка O (или D₁ в структуре) лежит в плоскости треугольника ABC.

Вывод

Прямая ME соединяет точки разных непараллельных плоскостей и не лежит ни в одной из них полностью.
Прямая PO (или аналогичная по условию) также соединяет точки из разных плоскостей.

Обе прямые:

не пересекаются (общих точек нет),
не лежат в одной плоскости,
не параллельны.

Итог:
? ME и PO — скрещивающиеся прямые.