Диаметр шара равен 2m. Через конец диаметра
проведена плоскость под углом 45° к нему. Найдите длину линии пересечения сферы
с этой плоскостью.



Помогите пожалуйста, подзабыл тему шара. Срочно надо. Желательно с чертежом. Заранее спасибо.

Для решения задачи о длине линии пересечения сферы и плоскости, проведенной под углом $45^\circ$ к диаметру, нужно понять, что происходит геометрически.

Шаги решения:

1. Дано:

   • Диаметр сферы $d = 2\ \text{м}$, значит радиус $r = \frac{d}{2} = 1\ \text{м}$.
   • Плоскость проведена через конец диаметра, под углом $45^\circ$ к этому диаметру.

2. Линия пересечения:

   • Пересечение сферы и плоскости дает окружность.
   • Радиус этой окружности зависит от положения плоскости относительно центра сферы. Чтобы найти радиус окружности пересечения, применяем основное уравнение для сферы и расстояние от центра сферы до плоскости.

3. Центр сферы и положение плоскости:

   • Центр сферы — в начале координат: $O(0, 0, 0)$.
   • Конец диаметра, через который проходит плоскость, находится в точке $A(1, 0, 0)$.
   • Плоскость под углом $45^\circ$ наклонена относительно диаметра, но проходит через точку $A$. Расстояние от центра сферы до плоскости равно высоте треугольника, образуемого перпендикуляром, проведенным от центра сферы к плоскости.

4. Находим радиус окружности пересечения:

   • Формула радиуса окружности, возникающей на пересечении плоскости и сферы: $$R = \sqrt{r^2 - d_{\text{цп}}^2},$$ где $r = 1$ м — радиус сферы, $d_{\text{цп}}$ — расстояние от центра сферы до плоскости.
   • Поскольку плоскость под углом $45^\circ$, то расстояние от центра $O$ до плоскости равно высоте треугольника с углом $45^\circ$ и гипотенузой $r = 1$: $$d_{\text{цп}} = r \cdot \sin(45^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

5. Подставляем значения:

   $$R = \sqrt{1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

6. Длина окружности: Длина окружности на пересечении рассчитывается по формуле:

   $$L = 2 \pi R.$$

   Подставляем $R = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

   $$L = 2 \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \pi \sqrt{2}.$$

Ответ:

Длина линии пересечения сферы и плоскости равна:

Чертеж:

Для лучшего понимания нарисуйте:

1. Сферу (окружность на плоскости).
2. Диаметр, обозначив его горизонтально.
3. Плоскость под углом $45^\circ$, проходящую через конец диаметра, пересекающую сферу.

Сечение будет окружностью, радиус которой мы нашли как $R = \frac{\sqrt{2}}{2}$, а длину окружности — как $L = \pi \sqrt{2}$.